一元二次方程的解集怎么求(探索一元二次方程的求根公式)

时间:2023-12-06 01:40:41 | 分类: 基金问答 | 作者:admin| 点击: 59次

探索一元二次方程的求根公式

探索

一元二次方程的求根公式

问题引入

古印度有这样一道有趣的数学题：

一群猴子在林中欢闹，不知疲倦不知烦恼。有数量为总数八分之一再平方的大猴小猴，在树枝上不停地蹦跳；还有12只猴子摘果取乐，一边啼叫一边乱抛。树枝摇曳果遍地，林中猴子共多少？

如果用x表示林中猴子的总数，可得

上述问题就可以归结为解这个方程，即找到这个一元二次方程的解。

我们知道，一元二次方程的解法有因式分解法、配方法、公式法。在各类方法中，因式分解法风格飘逸，气质神秘；配方法思路硬核，逻辑清晰，是公式法的引线；公式法造型复杂，但却是万能的，具有“一统江湖”的地位。

事实上，古代数学家对一元二次方程解法的研究历史悠久，我们接下来一起了解一下中外数学家们的精彩推演过程吧。

背景介绍

一元二次方程及其解法最早出现在公元前2000年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中：“已知两数的和与积求此两数”。用现代的代数语言叙述来就是：“已知两数p和q，xy=q，x+y=p，求x，y。

由x+y=p，可知y=p-x

代入xy=q，得x∙(p-x)=q

整理，得x²-px=-q

则

于是

因此，用符号语言来表示方程的根就是

但因为那个时代没有负数的概念，也将负根的问题忽略不提。

约公元前300年，古希腊的欧几里得提出图解法求解一元二次方程，但缺陷也是只能求正根。

公元7世纪，印度数学家婆罗摩笈多给出了二次方程的求根公式，允许系数可正可负，他还用数的上方加点来表示负数，用不同的颜色首字母表示不同的未知数，效果与字母表达的方程十分接近。

到了9世纪，***数学家花拉子米在其《代数学》中借助完全平方公式的几何图形给出了一元二次方程的几何解法。

到了12世纪，印度数学家婆什伽罗(BhaskaraII，1114-约1185)给出了一元二次方程的求根公式:

同时确定了二次方程有两个根，也就承认了负根的存在。

国内的研究始于三国的赵爽，他在《勾股圆方图注》中对形如-x²+bx=c(b、c均为正数）用“开带从平方法”给出求解的步骤，其结果相当于求根公式。公元729年，唐朝的张遂在《大衍历》中，用文字叙述出了一元二次方程x²+px+q=0(p>0,q

1275年宋朝的杨辉在《田亩比类乘除捷法》一书中，详细记载了一元二次方程的四种解法。

可以说，求一元二次方程的解一直伴随人类数学发展。

原理剖析

古代的数学家们曾使用了多种方法求解一元二次方程。古希腊人擅长应用几何方法，印度人和***人曾用过一种类似现在“完全平方”的方法求解。他们考虑了方程的各种不同的类型。

如

和

等

我们今天可以把它们写成统一的形式

下面我们介绍历史上著名的推导求根公式的三种方法。

印度(Hindu)方法

从公元1025年起，在印度流行如下的解答方法。将(1)写成

此方程两边分别乘4a以后加上b²，左边得到一个完全平方式，结果是

以上步骤是可逆的，因此(2)是(1)的解。

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印度方法的核心思路：

将方程式配成完全平方式，然后开平方，得出解。这种方法给出了一种通用的配方法，

即“方程两边同时乘以4a后加b² ”。

然而在实际求解中，我们不一定要按照此方法，只需凑出完全平方式即可。

下面两个方法是在近代数学家Vieta(韦达)和Harriot(哈里奥特)的想法基础上产生的。

韦达(Vieta)方法

若(1)的一次项系数为零，则这个二次方程是容易求解的；若一次项系数不为零,则可以通过代换

将(1)转化为一次项系数为零的情况。

将(3)代入(1)得

该方程的根是

将此值代入（3）得

经检验，（4）是（1）的解。

提问

你能否用自己的语言来概括韦达方法的核心思路呢？

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韦达方法的核心思路：

当方程为ay²=c时，方程容易求解。

那么接下来的思路就是用y代换x，将复杂的方程化简为ay²=c的形式求解，即换元法。

用ay²来代表完全平方式中左侧的部分，只不过分成两步，先求y，后求x。

实际解题中我们可以运用这个思路，当x的方程非常复杂时，不妨先观察原式，思考是否可以通过y代换，从而简化方程。

哈里奥特(Harriot)方法

设x₁ 、x₂是二次方程(1)的根。显然如下构造的方程的根也是x₁ 和 x₂。

或

用a除方程（1）两边，则（1）等价于

由于方程（5）和（6）相同，它们的对应项系数相等，因此得出

将（7）、（8）代入

得

求出同时符合（7）和（9）的x₁ 和x₂的值，得

我们仅考虑（9）中那个正的方根就可以了,因为负的方根仅改变了x₁和x₂的顺序。

这个探讨的一个副产品是（7）、（8）,确立了方程（1）的两根和、两根积与系数之间的关系。

延伸探究：

我们知道，运用根与系数的关系，或方程根的定义，或根的判别式，可构造一元二次方程。此外，还可巧妙地运用求根公式构造一元二次方程。

拓展阅读：

同学们，让我们一起来了解一下求根公式的几何解释吧！

我们先来看看完全平方公式的几何解释：

其实有了几何解释，我们对于完全平方公式与平方差公式就会有一个更深刻的理解，不仅仅停留在字母的言语信息的记忆，更重要的是公式的内涵与实质。

这不禁会引起我们思考：求根公式是否也可以用几何图形表示呢？

当然也是可以的。

下面用几何图形解释求根公式：

数学公式和几何图形之间的联系密切，我们习以为常使用的一元二次方程的求根公式，其实是历史上众多数学家探索的成果。

已知一元二次不等式的解集怎么求这个一元二次不等式

已知一元二次不等式ax^2+bx+1>0的解集为-20的解集是-20时，结合一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像，我们有以下结论：若δ>0，一元二次方程ax^2+bx+c=0有两相异实根x1，x2，此时一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解为xx2；而一元二次不等式ax^2+bx+c0的解为x≠x0；而一元二次不等式ax^2+bx+c0的解集为任意实数；而一元二次不等式ax^2+bx+c<0的无解。

一元二次方程不等式解集怎么写？

一元二次不等式解集有两种写法，初中用区间表示，高中用集合表示

一元二次方杨亮针斯虽实省字指唱鲁程的解集用列举法表示？来自

集合中，表示一个一元二次方程的解集方法如下：设这个一元二次方程的解是，x=3或者x=5。那么在集合中，一元二次方程的解集表示为：x∈{3，5}，因为{3，5}就是一个集合，这个集合有3和5这两个元素，这两个数构成的集合就是方程的解，所以x∈{3，5}就是一元二次方程的解集。解集的定义为：以一个方程（组）或不等式（组）的所有解为元素的集合叫做该方程（组）或不等式（组）的解集。

一元二次方程怎么求解,怎么化成公式?

一元二次方程的求解方法1、公式法在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b&#...

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我们观察，这个解不等式的过程，就是等式两边同时除以(a+1)，然后不等号的开口方向改变了，那么说明说明问题？

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求一元二次方程的解集过程？

先把常数c移到方程右边得：

aX²+bX=-c

将二次项系数化为1得：

X²+（b/a）X=- c/a

方程两边分别加上（b/a）的一半的平方得：

X²+（b/a）X +（b/（2a））²=- c/a +（b/（2a））²

方程化为:

（b+（2a））²=- c/a +（b/（2a））²

①、若- c/a +（b/（2a））²0，原方程的解为X=（-b）±√（（b））

一元二次方程的解集怎样求?

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在集合中，怎么表示一个一元二次方程的解集

满足方程g(x)·h（x)=0的解可以是g(x)=0或h（x)=0所以是并集啊ab必须至少满足一个要知道并集交集的差别

一元二次方程的解集方法△？

解:一元二次方程的解集是由方程的判别式△的大小决定的。当△>0时一元二次方程的解集为两个不相等的实数，当△=0时，一元二次方程的解集为两个相等的实数。

当△<0时，一元二次方程的解集为空集，即一元二次方程没有实数解，也就是该方程无解。